AVL小树转转转转转，我的考试挂挂挂挂挂

AVL 树的意义：是二分查找树 BST 。二分查找树查找某个值时，时间复杂度是 O(h) ，因此，我们让树的尽可能平衡，即最大高度尽可能的小。因此有了 AVL 。

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参考例题：

• AcWing：AVL树的根[1]

百度百科[2]：在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

BST 本质上是维护一个有序序列，AVL 树中的左旋右旋操作，并不会改变树的中序遍历结果。

上图中把 A 右旋是怎么做的呢?把 B 旋转到根节点，然后把 A 变成 B 的右孩子，把 E 补偿给 A 作为 A 的左孩子。

左旋和右旋

对节点 u 右旋：

• 根 u 的左儿子变成新的根 p
• 根的左儿子变成新的根 p 原本的右儿子
• 新的根 p 的右儿子变成了原本的根 u
• u 和 p 的高度都需要更新

 
 
 
 

  
  
  
  
void R(int& u) 
  
  
  
  
{ 
  
  
  
  
    int p = l[u]; 
  
  
  
  
    l[u] = r[p], r[p] = u; 
  
  
  
  
    update(u), update(p); 
  
  
  
  
    u = p; 
  
  
  
  
} 
 
 
 
 

对节点 u 右旋：

• 根 u 的右儿子变成新的根 p
• 根的右儿子变成新的根 p 原本的左儿子
• 新的根 p 的左儿子变成了原本的根 u
• u 和 p 的高度都需要更新

 
 
 
 

  
  
  
  
void L(int& u) 
  
  
  
  
{ 
  
  
  
  
    int p = r[u]; 
  
  
  
  
    r[u] = l[p], l[p] = u; 
  
  
  
  
    update(u), update(p); 
  
  
  
  
    u = p; 
  
  
  
  
} 
 
 
 
 

高度更新由左右儿子决定，因为求高度时，默认其两个儿子已经更新完高度了：

 
 
 
 

  
  
  
  
void update(int u) 
  
  
  
  
{ 
  
  
  
  
    h[u] = max(h[l[u]], h[r[u]]) + 1; 
  
  
  
  
} 
 
 
 
 

插入的四种情况

四种情况

(一)新数字插到了左子树，导致左子树比右子树高2;左孩子的左子树比其右子树高1

对于四种情况中的①。应该右旋 A 。

实例如上图，右旋 88 即可。

(二)新数字插到了左子树，导致左子树比右子树高2;左孩子的右子树比其左子树高1

对于四种情况中的③。应该左旋 B 再右旋 A 。

对应的情况如如下：

 
 
 
 

  
  
  
  
  70 
  
  
  
  
61 
  
  
  
  
  65 
  
  
  
  
// 左旋 61 
  
  
  
  
    70 
  
  
  
  
  65 
  
  
  
  
61 
  
  
  
  
// 右旋 70 
  
  
  
  
  65 
  
  
  
  
61  70 
 
 
 
 

(三)新数字插到了右子树，导致右子树比左子树高2;右孩子的右子树比其左子树高1

对于四种情况中的②。应该左旋 A 。

对应的情况如 88 96 120 ，左旋 88 即可。

(四)新数字插到了右子树，导致右子树比左子树高2;右孩子的左子树比其右子树高1

对于四种情况中的④。应该右旋 B 再左旋 A 。

对应的情况如如下：

 
 
 
 

  
  
  
  
  70 
  
  
  
  
96 
  
  
  
  
  88 
  
  
  
  
// 右旋 96 
  
  
  
  
70 
  
  
  
  
  88 
  
  
  
  
    96 
  
  
  
  
// 左旋 70 
  
  
  
  
  96 
  
  
  
  
70  88 
 
 
 
 

插入的代码

 
 
 
 

  
  
  
  
void insert(int& u, int w) 
  
  
  
  
{ 
  
  
  
  
    if (!u) u = ++ idx, v[u] = w; 
  
  
  
  
    else if (w < v[u]) 
  
  
  
  
    { 
  
  
  
  
        insert(l[u], w); 
  
  
  
  
        if (get_balance(u) == 2) 
  
  
  
  
        { 
  
  
  
  
            if (get_balance(l[u]) == 1) R(u); 
  
  
  
  
            else L(l[u]), R(u); 
  
  
  
  
        } 
  
  
  
  
    } 
  
  
  
  
    else 
  
  
  
  
    { 
  
  
  
  
        insert(r[u], w); 
  
  
  
  
        if (get_balance(u) == -2) 
  
  
  
  
        { 
  
  
  
  
            if (get_balance(r[u]) == -1) L(u); 
  
  
  
  
            else R(r[u]), L(u); 
  
  
  
  
        } 
  
  
  
  
    } 
  
  
  
  
 
  
  
  
  
    update(u); 
  
  
  
  
} 
 
 
 
 

参考资料

[1]AVL树的根: https://www.acwing.com/problem/content/description/1554/

[2]百度百科: https://baike.baidu.com/item/AVL%E6%A0%91/10986648

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